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\begin{center}\huge{Exercices d'application pour les fiches\newline\og{} En une page... \fg{}}\end{center}

Un exercice d'application est proposé pour certaines fiches, avec une première question ayant une correction rédigée, et quelques questions additionnelles à titre d'entraînement.

\tableofcontents

\begin{flushright}Date de dernière édition : \today{}\end{flushright}
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\titre{Équation différentielle d'ordre 1, avec second membre constant}

\q Résoudre l'équation différentielle suivante :
\[\frac{\dd \theta}{\dd t}+5\theta=10\text{ avec }\theta(t=0)=0\pt\]

\q Résoudre les équations différentielles suivantes :
\[\text{\qq }\frac{\dd z}{\dd x}+\frac{1}{10}z=0\text{ avec }\left.\frac{\dd z}{\dd x}\right|_{x=0}=3\text{ .\hspace{1cm}\qq }\frac{\dd q}{\dd t}-q=7\text{ avec }q(t=1)=3\pt\]

\begin{reponse}
    \q On a l'équation différentielle qui lie $\theta(t)$ à sa dérivée première. Cette équation différentielle possède un second membre, sa solution sera alors composée de la somme d'une solution homogène et d'une solution particulière :
    \[\theta(t)=\theta_h(t)+\theta_p(t)\pt\]

    La solution homogène se trouve en posant la solution homogène comme étant la solution de l'équation différentielle sans second membre. Alors,
    \[\theta_h(t)=A\exp(-5t)\text{ , $A\in\mathbb{R}$,}\]
    est la solution de l'équation homogène
    \[\frac{\dd \theta_h}{\dd t}+5\theta_h=0\pt\]

    Avant de chercher à déterminer la constante réelle $A$, il faut rechercher la solution particulière. Le second membre constant, alors la fonction $\theta_p(t)$ est une fonction constante. Ici, on a, lorsque la variable $t$ tend vers l'infini :
    \[5\theta_p(t)=10\text{ , }\theta_p(t)=2\pt\]

    Ainsi, la solution obtenue est :
    \[\left\{\begin{array}{l}
                \theta(t)=A\exp(-5t)+2 \\
                \theta(t=0)=0
    \end{array}\right.\]

    On détermine la constante, et on obtient la solution de l'équation différentielle avec sa condition initiale :
    \[\theta(t)=2(1-\exp(-5t))\pt\]

    \q On a les solutions suivantes :
    \[\text{\qq }z(x)=-30\exp\left(-\frac{x}{10}\right)\text{ .\hspace{2cm}\qq }q(t)=\frac{10}{e}\exp(t)-7\pt\]
\end{reponse}

\titre{Équation différentielle d'ordre 2, avec second membre constant}

\q Résoudre l'équation différentielle suivante :
\[9\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}+4y=8\text{ avec }\left.\frac{\dd y}{\dd t}\right|_{t=0}=5,y(t=0)=9\pt\]

\q Résoudre les équations différentielles suivantes :

\qq $\dfrac{\dd^2 z}{\dd x^2}+\dfrac{\dd z}{\dd x}=1\text{ avec }\left.\dfrac{\dd z}{\dd x}\right|_{x=0}=3,z(x=0)=1$.

\qq $\dfrac{\dd^2 q}{\dd t^2}-\dfrac{\dd q}{\dd t}+q=0\text{ avec }\left.\dfrac{\dd q}{\dd t}\right|_{t=0}=1,q(t=0)=0$.

\begin{reponse}
    \q L'équation différentielle lie la fonction $y(t)$ à sa dérivée seconde, c'est une équation différentielle d'ordre 2 avec un second membre. La solution sera donc composée d'une solution homogène $y_h(t)$ et d'une solution particulière $y_p(t)$. Pour déterminer la solution homogène, on considère l'équation différentielle sans second membre
    \[9\frac{\dd^2 y_h}{\dd t^2}+4y_h=0\vgl \]
    et on en déduit le polynôme caractéristique, avec $r$ les racines de l'équation différentielle
    \[9r^2+4=0\]
    Il est alors possible de déterminer le discriminant
    \[\Delta=-4\times9\times4=-144<0\pt\]

    Les racines sont donc
    \[r_1=j\frac{\sqrt{-\Delta}}{2\times9}=j\frac{2}{3}\text{ , }r_2=-j\frac{\sqrt{-\Delta}}{2\times9}=-j\frac{2}{3}\vgl\]
    et la solution homogène aura donc la forme
    \[y_h(t)=A\cos\left(\frac{2t}{3}\right)+B\sin\left(\frac{2t}{3}\right)\text{ avec }(A,B)\in\mathbb{R}^2\pt\]

    Il est alors possible de déterminer la solution particulière qui est constante, car le second membre est constant. Lorsqu'on fait tendre la variable temps $t$ vers l'infini :
    \[4y_p(t)=8\text{ soit }y_p(t)=2\pt\]

    Ensuite, il est possible d'utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes $A$ et $B$ :
    \[y(t=0)=9=A\cos\left(\frac{2\times0}{3}\right)+B\sin\left(\frac{2\times0}{3}\right)+2=A+2\text{ , }A=7\vgl\]
    \[\left.\frac{\dd y}{\dd t}\right|_{t=0}=5=-\frac{2A}{3}\sin\left(\frac{2\times0}{3}\right)+\frac{2B}{3}\cos\left(\frac{2\times0}{3}\right)=\frac{2B}{3}\text{ , }B=\frac{15}{2}\pt\]

    On obtient alors le résultat
    \[y(t)=7\cos\left(\frac{2t}{3}\right)+\frac{15}{2}\sin\left(\frac{2t}{3}\right)+2\pt\]

    \q On a les solutions suivantes :
    \[\text{\qq }z(x)=-2\exp(-x)+x+3\text{ .\hspace{2cm}\qq }q(t)=\frac{2\sqrt 3}{3}\exp\left(\frac{t}{2}\right)\sin\left(\frac{\sqrt 3}{2}t\right)\pt\]
\end{reponse}

\end{document}