\documentclass{enunepage}

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\title{En une page... les coniques}

\begin{document}

\begin{multicols}{2}

    \maketitle

    \begin{abstract}
        Les coniques sont des courbes intervenant dans les tracés de trajectoires, en particuliers celles de corps dans un champ de forces conservatives.
    \end{abstract}

    Une conique est une courbe résultant de l'intersection d'un cône avec un plan. Elle possède quelques caractéristiques :
    \begin{itemize}
        \item le foyer $F$ ;
        \item une directrice $\Delta$ ;
        \item une excentricité $e$ ;
        \item le paramètre $p$.
    \end{itemize}
    L'excentricité est une constante, donnée par
    \begin{equation}
        \frac{\text{distance }MF}{\text{distance }(M,\Delta)}=e\pt
    \end{equation}
    On distingue quatre coniques différentes visibles sur la figure \ref{fig:coniques} : le cercle ($e=0$), l'ellipse ($e<1$), la parabole ($e=1$) et l'hyperbole ($e>1$). Le paramètre $p$ de la conique est donné par la distance $FI$, distance entre $F$ et $I$, avec $F$ le projeté orthogonal de $I$ sur l'axe ($Ox$), l'axe de symétrie de la courbe. On a alors
    \begin{equation}
        \frac{IF}{IJ}=\frac p{FH}=e\text{ et }FH=\frac pe\vgl
    \end{equation}
    d'après les constructions visibles sur la figure \ref{fig:propconique}. Le point $F$ est appelé foyer de la conique.

    Pour une ellipse, on a l'équation paramétrique et l'équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes
    \begin{equation}
        \left\{
            \begin{array}{l}
                x(t)=a\cos\omega t\\
                y(t)=b\sin\omega t
            \end{array}
        \right.
        \text{ et }
        \left(\frac xa\right)^2+ \left(\frac yb\right)^2=1\vgl
        \label{eq:ellipse}
    \end{equation}
    avec $a$ et $b$ les demi-grand et demi-petit axes de l'ellipse. On définit également la constante $c=\sqrt{a^2-b^2}$, la distance entre le centre de l'ellipse $\Omega$ et l'un de ses foyers, $F$ par exemple. On pourra également retrouver les relations suivantes, avec $\mathcal A$ l'aire de la figure :
    \begin{equation}
        e=\frac ca<1\text{, }p=\frac{b^2}a\text{ et }\mathcal A=\pi ab\pt
    \end{equation}
    On remarque que pour le cercle, l'excentricité $e$ est nulle, on a égalité entre les paramètres $a$ et $b$. Ces paramètres sont alors le rayon $R$ du cercle, et l'équation \eqref{eq:ellipse} devient dans ce cas
    \begin{equation}
        \left\{
            \begin{array}{l}
                x(t)=R\cos\omega t\\
                y(t)=R\sin\omega t
            \end{array}
        \right.
        \text{ et }
        x^2+y^2=R^2\pt
    \end{equation}

    En coordonnées polaires, on définit, pour l'ellipse
    \begin{equation}
        r=FM\text{ et }\theta=(Fx,FM)\pt
    \end{equation}
    L'expression donnant la courbe en coordonnées polaires est alors
    \begin{equation}
        r=\frac p{1+e\cos\theta}\pt
        \label{eq:1}
    \end{equation}

    Dans le cas $e=1$, on a une parabole, son équation est donnée par l'équation \eqref{eq:1}.

    Pour une excentricité $e>1$ et un paramètre $p$ donné, l'hyperbole possède deux branches définies par les relations
    \begin{equation}
        r_1=\frac p{1+e\cos\theta}\text{ et }r_2=\frac p{e\cos\theta-1}\pt
    \end{equation}
    Ainsi, pour la figure \ref{fig:propconique} sur laquelle est représentée une conique, le choix a été fait de ne représenter qu'une des deux branches de l'hyperbole. La seconde branche est le symétrique de la première branche par l'axe ($\Delta$). Dans le cas d'un problème physique, une seule des deux branches correspond à la trajectoire réelle du corps étudié.

\end{multicols}

\begin{center}
    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
        \centering{
        \begin{tikzpicture}
            \draw [->,-latex] (-6,0) -- (1.5,0) node [above] {$x$};
            \draw [->,-latex] (0,-3) -- (0,3) node [left] {$y$};
            \clip (-6cm,-3cm) rectangle (2cm,3cm);

            % Cercle
            \pgfmathsetmacro{\a}{1}
            \pgfmathsetmacro{\b}{1}
            \draw [domain=0:360, smooth, samples=1000] plot({\a*cos(\x)},{\b*sin(\x)});
            % Ellipse 1
            \pgfmathsetmacro{\a}{1.563}
            \pgfmathsetmacro{\b}{1.250}
            \draw [domain=0:360, smooth, samples=1000, dashed] plot({\a*cos(\x)-0.93},{\b*sin(\x)});
            % Ellipse 2
            \pgfmathsetmacro{\a}{2.778}
            \pgfmathsetmacro{\b}{1.667}
            \draw [domain=0:360, smooth, samples=1000, dotted] plot({\a*cos(\x)-2.21},{\b*sin(\x)});
            % Parabole
            \draw [domain=-3:3, smooth, samples=1000, color=gray] plot({-(\x-1)*(\x+1)},{\x});
            % Hyperbole 1
            \pgfmathsetmacro{\a}{-2.273}
            \pgfmathsetmacro{\b}{1.508}
            \draw [domain=-3:3, smooth, samples=1000, color=gray, dashed] plot({\a*cosh(\x)+2.73},{\b*sinh(\x)});
            % Hyperbole 2
            \pgfmathsetmacro{\a}{-0.800}
            \pgfmathsetmacro{\b}{0.894}
            \draw [domain=-3:3, smooth, samples=1000, color=gray, dotted] plot({\a*cosh(\x)+1.20},{\b*sinh(\x)});
        \end{tikzpicture}
        %\includegraphics[width=0.58\textwidth]{img/7.png}
        }%
        \captionof{figure}{Coniques ($p=1$) : cercle (noir, trait continu), ellipses (noires, pointillés), parabole (grise, trait continu) et hyperboles (grises, pointillés)}
        %\captionof{figure}{Coniques : cercle (noir), ellipse (gris), parabole (pointillés), hyperbole (trait discontinu)}
        \label{fig:coniques}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
        \centering{
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            % Paramètres de l'hyperbole
            \pgfmathsetmacro{\e}{1.44022}
            \pgfmathsetmacro{\a}{1}
            \pgfmathsetmacro{\b}{(\a*sqrt((\e)^2-1)}

            \coordinate (O) at (0,0);
            \coordinate (M) at ({-\a*cosh(1.5)},{\b*sinh(1.5)});
            \coordinate (F) at (-1.427043,0);
            \coordinate (I) at (-1.427043,{\b*sinh(0.894088)});
            \coordinate (J) at (0,{\b*sinh(0.894088)});
            \coordinate (K) at (0,{\b*sinh(1.5)});

            \clip (-3cm,-3cm) rectangle (1.1cm,3cm);
            \node at (O) [below right] {$H$};
            \draw [->,-latex] (-3,0) -- (1,0) node [above] {$x$};
            \draw [-] (0,3) -- (0,-3) node [above right] {($\Delta$)};
            \draw [dashed] (F) node [below] {$F$} -- node [left] {$p$} (I) node [left] {$I$} -- (J) node [right] {$J$};
            \draw [dotted] (F) -- (M) node [left] {$M$} -- (K);

            \draw [domain=-2.5:2.5, smooth] plot({-\a*cosh(\x)},{\b*sinh(\x)});
        \end{tikzpicture}
        }%
        \captionof{figure}{Conique avec $e=1,4$ et $p=1,1$}
        \label{fig:propconique}
    \end{minipage}%
\end{center}

\end{document}