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\title{En une page... la trigonométrie}

\tikzexternaldisable

\begin{document}

\begin{multicols}{2}

    \maketitle

    \begin{abstract}
        La trigonométrie, sous-partie des mathématiques, vise à obtenir des relations entre des angles et des distances. En physique, ces relations apparaissent très régulièrement comme en mécanique et en optique.
    \end{abstract}

    La relation mère de ce domaine est le théorème de \textsc{Pythagore}, donné par
    \begin{equation}
        a^2+b^2=c^2\text{ ou }BC^2+CA^2=AB^2\vgl
        \label{1}
    \end{equation}
    relation vraie dans le triangle rectangle $ABC$ rectangle en $C$ de la figure \ref{fig:triangle}. Rappelons que dans un triangle, la somme des trois angles supplémentaires donne $\pi$.

    On définit ensuite les fonctions trigonométriques usuelles cosinus, sinus et tangente telles que, relativement à l'angle $\alpha=\widehat{BAC}$, on a
    \begin{equation*}
        \cos(\alpha)=\frac bc\vgl\sin(\alpha)=\frac ac\vgl\tan(\alpha)=\frac ab\pt
    \end{equation*}
    On retiendra les moyens mnémotechniques «~casse-toi~» ou SOHCAHTOA, traduisant que le sinus correspond au rapport des longueurs du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse ; le cosinus, celles du côté adjacent et de l'hypoténuse ; la tangente, celles du côté opposé et du côté adjacent. Remarquons que ces fonctions donnent un résultat sans dimension, notons à l'aide de la figure \ref{fig:courbes} que les fonctions sinus et cosinus sont bornées sur $[-1;1]$, et que l'ensemble de départ de la fonction tangente est $]-\frac\pi2;\frac\pi2[$.

    En divisant \eqref{1} par $c^2$, on obtient une première identité trigonométrique
    \begin{equation*}
        \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1\pt
    \end{equation*}
    On retiendra également les relations de duplication
    \begin{align*}
        \cos(\alpha+\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \vgl \\
        \sin(\alpha+\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) \pt
    \end{align*}
    Remarquons que les fonctions tangente et sinus sont impaires, la fonction cosinus est paire, il est donc possible d'obtenir les développements de $\cos(\alpha-\beta)$ et de $\sin(\alpha-\beta)$ en remplaçant $\beta$ par $-\beta$.

    On en déduit aussi les formules dites de l'angle double, en posant $\beta=\alpha$ :
    \begin{align*}
        \sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\vgl \\
        \cos(2\alpha)&=2\cos^2(\alpha)-1=1-2\sin^2(\alpha)\vgl
    \end{align*}
    puis les formules de linéarisation :
    \begin{equation*}
        \cos^2(\alpha)=\frac{1+\cos(2\alpha)}2\vgl
        \sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}2\pt
    \end{equation*}
    Les relations de factorisation sont également utiles :
    \begin{align*}
        \cos(p)+\cos(q)&=2\cos\left(\frac{p+q}2\right)\cos\left(\frac{p-q}2\right) \vgl \\
        \cos(p)-\cos(q)&=-2\sin\left(\frac{p+q}2\right)\sin\left(\frac{p-q}2\right) \vgl \\
        \sin(p)+\sin(q)&=2\sin\left(\frac{p+q}2\right)\cos\left(\frac{p-q}2\right) \pt
    \end{align*}

    Dans un triangle quelconque, la loi des cosinus, dit théorème d'\textsc{Al-Kashi}, indique que
    \begin{equation*}
        a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\pt
    \end{equation*}
    La loi des sinus existe également. Bien que plus rarement utilisée, elle fait apparaitre la proportionnalité existant entre le sinus d'un angle et la longueur du côté opposé à cet angle dans tout triangle.

    En traçant la fonction $\text{e}^{j\alpha}=\cos(\alpha)+j\sin(\alpha)$ dans le plan complexe (avec $j^2=-1$) à l'image de la figure \ref{fig:cercle}, on retrouve les formules d'\textsc{Euler} du sinus et du cosinus ainsi que la formule de \textsc{Moivre} :
    \begin{equation*}
        \cos(\alpha)=\frac{\text e^{j\alpha}+\text e^{-j\alpha}}2\vgl
        \sin(\alpha)=\frac{\text e^{j\alpha}-\text e^{-j\alpha}}{2j}\vgl
    \end{equation*}%
    \begin{equation*}
        \left(\cos(\alpha)+j\sin(\alpha)\right)^n=\cos(n\alpha)+j\sin(n\alpha)\pt
    \end{equation*}

    Sur la figure \ref{fig:cercle}, on repère également la valeur de $\tan(\alpha)$, la pente de la droite $(OM)$ si $\alpha$ appartient au domaine de définition de la fonction tangente :
    \begin{equation*}
        \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\pt
    \end{equation*}

\end{multicols}

\begin{center}
    \begin{minipage}{0.25\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \coordinate (A) at (0,0);
            \coordinate (B) at (3,1.5);
            \coordinate (C) at (3,0);

            \draw (A) node [left] {$A$} --node [above] {$c$} (B) node [above right] {$B$} --node [right] {$a$} (C) node [below right] {$C$} --node [below] {$b$} (A);

            \tkzMarkRightAngle(B,C,A)
            \tkzDrawArc[R with nodes, color=black](A,1cm)(C,B)
            \tkzLabelAngle[dist=1.2cm](C,A,B){$\alpha$}
        \end{tikzpicture}
        \captionof{figure}{Triangle $ABC$ rectangle en $C$}
        \label{fig:triangle}
    \end{minipage}\hfill%
    \begin{minipage}{0.46\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \draw[->] (-3.7,0) --node[below right=1.0 and 0cm] {\vphantom{$\dfrac33$}0} (3.7,0) node[above] {$\alpha$};
            \draw[->] (0,-1.7) -- (0,1.2) node [left] {$\cos(\alpha)$} node [right] {$\sin(\alpha)$};
            \draw (-3.14,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$-2\pi$};
            \draw (-2.355,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$-\dfrac{3\pi}2$};
            \draw (-1.57,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$-\pi$};
            \draw (-0.785,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$-\dfrac\pi2$};
            \draw (0.785,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$\dfrac\pi2$};
            \draw (1.57,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$\pi$};
            \draw (2.355,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$\dfrac{3\pi}2$};
            \draw (3.14,0) node[below=1.0] {\vphantom{$\dfrac33$}$2\pi$};
            \draw [domain=-3.5:3.5, smooth, samples=100, thick=2pt] plot(\x,{cos(2*\x*180/3.14)});
            \draw [domain=-3.5:3.5, smooth, samples=100, dashed, thick=2pt] plot(\x,{sin(2*\x*180/3.14)});
        \end{tikzpicture}
        \captionof{figure}{Allure des fonctions sinus (en pointillés) et cosinus (en trait plein), $2\pi$-périodiques}
        \label{fig:courbes}
    \end{minipage}\hfill%
    \begin{minipage}{0.25\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \coordinate (O) at (0,0);
            \coordinate (x) at (1,0);
            \coordinate (M) at ({1.2*cos(180/6)},{1.2*sin(180/6)});
            \coordinate (Mx) at ({1.2*cos(180/6)},0);
            \coordinate (My) at (0,{1.2*sin(180/6)});

            \tkzMarkRightAngle[color=gray, size=0.15](O,Mx,M)%[dist=0.2cm]
            \tkzMarkRightAngle[color=gray, size=0.15](O,My,M)%[dist=0.2cm]
            \tkzDrawArc[R with nodes, color=black](O,0.5cm)(x,M)
            \tkzLabelAngle[dist=0.7cm](x,O,M){$\alpha$}
            \draw[dashed, gray] (O) --node [below] {\small $\cos(\alpha)$} (Mx) -- (M) -- (My) --node [left] {\small $\sin(\alpha)$} (O);

            \draw[->] (-1.4,0) --node[below left] {$O$} (1.4,0) node[above] {$x$} node[below] {1};
            \draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.4) node [right] {$y$};

            \draw (O) circle (1.2);
            \node at (M) {$\bullet$};
            \node at (M) [above right] {$M$};
            \draw (O) -- (M);
        \end{tikzpicture}
        \captionof{figure}{Cercle trigonométrique}
        \label{fig:cercle}
    \end{minipage}
\end{center}

\newpage

\end{document}
